APMO 2007

Vraag 1

Zij $S$ een verzameling van $9$ gehele getallen, met elk van hun priemfactoren kleiner of gelijk aan drie. Toon aan dat $S$ drie getallen bevat wiens product een volkomen derdemacht is.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoek met $\angle BAC=60^\circ$ en $AB > AC$. Als $I$ het centrum van de ingeschreven cirkel is, en $H$ het snijpunt van de drie hoogtelijnen van de driehoek, bewijs dan dat $2\angle AHI= 3\angle ABC$.

Vraag 3

Beschouw $n$ schijven $C_1,C_2,\ldots,C_n$ in een vlak, waarvoor het centrum van $C_i$ op de omtrek van $C_{i+1}$ ligt voor alle $i$, en $C_{n}$ is on the circumference of $C_{1}$.

Definieer de score van een dergelijk $n$-tal schijven als het aantal koppels $(i,j)$ waarvoor $C_i$ volledig bevat zit in $C_j$. Wat is de hoogst mogelijke score (als functie van $n$)?

Vraag 4

Zij $x,y,z>0$ met $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}= 1$. Bewijs dat $$\frac{x^{2}+yz}{\sqrt{2x^{2}(y+z)}}+ \frac{y^{2}+zx}{\sqrt{2y^{2}(z+x)}}+ \frac{z^{2}+xy}{\sqrt{2z^{2}(x+y)}}\geq 1.$$

Vraag 5 Opgelost!

Een $5\times 5$ rooster van lampen (met elk hun eigen schakelaar) is defect: als je de schakelaar van één lamp omschakelt, schakelen de lampen boven, onder, links en rechts van die lamp ook om (van aan naar uit of omgekeerd).

Guolong speelt wat met de lichtjes (die bij de start allemaal uitstaan) en na een aantal keer te schakelen, brandt er precies één lamp. Welke posities kan deze lamp staan?