scherphoekige driehoek

Opgave - APMO 2007 vraag 2

Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoek met $\angle BAC=60^\circ$ en $AB > AC$. Als $I$ het centrum van de ingeschreven cirkel is, en $H$ het snijpunt van de drie hoogtelijnen van de driehoek, bewijs dan dat $2\angle AHI= 3\angle ABC$.

Oplossing

De hoekensom in de driehoek levert $\beta+\gamma=120^{\circ}$. Nu weet men dus dat
$$
\angle BHC = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \beta) - (90^{\circ} - \gamma) = 120^{\circ}.
$$
en
$$
\angle BIC = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \alpha = 120^{\circ}.
$$
Dus $BIHC$ is cyclisch. Nu geldt dus dat
$$
\angle AHI = 360^{\circ} - \angle AHC - \angle CHI = 360^{\circ} - (\gamma + 60^{\circ}) - (180 -\frac{1}{2}\beta) =
$$
$$
120^{\circ} - \gamma + \frac{1}{2}\beta = \frac{3}{2}\beta.
$$
$\Box$