APMO 2000

Vraag 1 Opgelost!

Werk de som $S=\sum_{i=0}^{101}\frac{x_i^3}{1-3x_i+3x_i^2}$ uit met $x_i=\frac i{101}$.

Vraag 2

Gegeven is de volgende driehoekige schikking van cirkels:
Elk van de getallen 1,2,...,9 moet in één van deze cirkels geschreven worden zodat iedere cirkel precies één van deze getallen bevat en
(i) de som van de vier getallen van iedere zijde is gelijk;
(ii) de sommen van de kwadraten van de vier getallen van iedere zijde is gelijk.
Vind alle mogelijke manieren waarop dit kan gedaan worden.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $ABC$ een driehoek en $M$ en $N$ zijn de snijpunten van respectievelijk de zwaartelijn en de bissectrice uit $A$ met $BC$. Zij $P$ en $Q$ de snijpunten van de loodrechte uit $N$ op $NA$ met respectievelijk $BA$ en $MA$, en $O$ het snijpunt van de loodrechte uit $P$ op $BA$ met $AN$. Bewijs dat $QO$ loodrecht staat op $BC$.

Vraag 4

Zij $n,k$ twee natuurlijke getallen met $n>k$, bewijs dat
$$\frac1{n+1}\cdot\frac{n^n}{k^k(n-k)^{n-k}}<\frac{n!}{k!(n-k)!}< \frac{n^n}{k^k(n-k)^{n-k}}.$$

Vraag 5

Gegeven is een permutatie $(a_0,a_1,...,a_n)$ van de rij $0,1,...,n$. Een verwisseling van de twee elementen $a_i$ en $a_j$ wordt legaal genoemd als $a_i=0$ voor $i>0$, en $a_{i-1}+1=a_j$. De permutatie $(a_0,a_1,...,a_n)$ wordt regulier genoemd als ze na een aantal legale verwisselingen van twee elementen $(1,2,...,n,0)$ wordt. Voor welke getallen $n$ is de permutatie $(1,n,n-1,...,3,2,0)$ regulier?