meetkunde
Opgave - APMO 2000 vraag 3
Zij $ABC$ een driehoek en $M$ en $N$ zijn de snijpunten van respectievelijk de zwaartelijn en de bissectrice uit $A$ met $BC$. Zij $P$ en $Q$ de snijpunten van de loodrechte uit $N$ op $NA$ met respectievelijk $BA$ en $MA$, en $O$ het snijpunt van de loodrechte uit $P$ op $BA$ met $AN$. Bewijs dat $QO$ loodrecht staat op $BC$.
- login om te reageren
Oplossing
zij $R$ het snijpunt van $AN$ en de omgeschreven cirkel van $ABC$. Wegens het bekende lemma is $RM\perp BC$. Zij $X$ de voet van $R$ op $AB$. $XM$ is dan de simsonlijn van $R$, deze staat loodrecht op $AR$, want $\angle NAX+\angle MXA=\angle NAC +\angle MRB=\angle MRB+\angle MBR=90$. hierdoor is $QP//MX$ en natuurlijk $XR//OP$. er volgt $QO//MR$, want $AQ/AM=AP/AX=AO/AR$ wegens tweemaal Thales, en we zijn klaar omwille van $RM\perp BC$.