JWO 2021

Dag 1

Vraag 1

In een vijver liggen 60 stenen op een cirkel. Een kikker springt in wijzerzin van steen naar
steen door steeds over 1 of twee stenen heen te springen. Wat is het minimale aantal
sprongen dat nodig is om alle stenen te bezoeken en op de startsteen te eindigen?

Vraag 2 Opgelost!

In een parallellogram ABCD snijdt de bissectrice (deellijn) van stompe hoek $\hat{A}$ de zijde
[BC] in het punt P en de rechte CD in het punt Q. De middelloodlijnen van driehoek
$\triangle PCQ$ snijden elkaar in het punt O. Bewijs dat $\hat{OBC} = \hat{ODC}$ .

Vraag 3

Jantje zag eens pruimen hangen, als eieren zo groot en genummerd volgens de natuurlijke
getallen. Hij plukt als eerste de pruim met getal 2. Daarna plukt Jantje telkens de pruim
met het kleinste getal n dat aan de volgende twee voorwaarden voldoet:
• n is groter dan alle getallen op de reeds geplukte pruimen;
• n is niet het product van twee al dan niet gelijke getallen op reeds geplukte pruimen.
De getallen op de geplukte pruimen noemen we pruimgetallen. Is 100 000 een pruimgetal?
Toon je antwoord aan.

Vraag 4 Opgelost!

Voor een willekeurige niet-lege eindige deelverzameling $D = \{x_1, x_2, \ldots , x_n\}$ van n natuurlijke getallen, verschillend van nul, definieren we
\[f(D) = \frac{1}{x_1 x_2 \cdots x_n}\]

(a)
Bepaal de som van de waarden f(D) waarbij D alle niet-lege deelverzamelingen van
$\{2, 3, 4\}$ doorloopt.

(b)

Bepaal de som van de waarden f(D) waarbij D alle niet-lege deelverzamelingen van
$\{2, 3, 4, \ldots , 2021\}$ (bestaande uit 2020 opeenvolgende getallen) doorloopt.