op gelijke hoek leven

Noem $BAQ= x = QAD$ (de totale hoek $A$ dus $2x$)
Noem $ABC = ABQ = 180-2x$
De som van de hoeken van een driehoek is $180°$ => $BQA = x$
=> $|BA| = |BQ| = a$ (gelijkbenige driehoek)
Ook is $PQC = x$ (hoek tussen twee snijdende rechten is gelijk aan overstaande kant)

Aangezien $QCD = 2x$ => $QCP = 180-2x$
Som van hoeken van driehoek = 180° (driehoek $QCP$)
=> $QPC = x$
=> $|PC| = |QC| = b$ (gelijkbenige driehoek)

Daar $|AB| = |CD|$ (parallellogram)
geldt dat $|BQ| = |DC|$ want
$|BC| = |DP|$ ($a+b = a+b$)

=> $|BC| - |CQ| = |DP| - |CP|$
=> $|BQ| = |DC|$

Merk verder op dat $|OP| = |OQ| = |OC|$ (omgeschreven cirkel center gevormd door snijpunten van de middelloodlijnen op de zijdes)

=> $OPQ$ is een gelijkbenige driehoek (twee zijdes $|OP|$ en $|OQ|$ gelijk aan straal)
Hoek $POQ =$ 2 keer hoek $PCQ = 2 (180-2x) = 360-4x$
Som van de hoeken van driehoek = 180°
dus $PQO = QPO = \frac{180-(360-4x)}{2} = 2x-90$

$AQC = 180 - BQA = 180-x$
=> $BQP = 180-x$
=> $BQO = BQP + PQO = 180-x+2x-90 = 90+x$

Nu zoeken we hoek $OCQ$

hoek $COQ =$ 2 keer hoek $CPQ = 2x$
En aangezien $|OQ| = |OC|$ = straal, geldt ook dat $OQC = OCQ$,
dus $OQC = OCQ = \frac{180-2x}{2} = 90-x$

Hoek $OCD$ = Hoek $OCQ$ + Hoek $QCD = 90-x+2x = 90+x$

Uit zijde-hoek-zijde (
1) $|OQ| = |OC|$ = straal omgeschreven cirkel,
2) $|BQ| = |DC|$ reeds bewezen
3) $BQO = OCD$
)
zijn driehoeken $OCD$ en $OQB$ congruent, dus is hoek $OBQ = ODC$

en $OBQ = OBC$ want $Q$ en $C$ liggen beide op $[BC]$
=> $OBC = ODC$ Q.E.D.

Een kortere oplossing:
Het bewijs is equivalent met bewijzen dat $B,D,C,O$ cyclisch zijn. Als nu $\angle BAQ = \angle PAQ = x$, dan krijgen we wegens middelpuntshoek-omtrekshoek dat $2 \cdot \angle PQC = \angle POC$ aangezien $O$ het snijpunt van de ml. is en dus het middelpunt van de omgeschreven cirkel is. Aangezien $\angle ADC = 180-2x$, verkrijgen we in $\triangle ADQ$ dat $\angle AQD = x = \angle PQC$ (en is $ADQ$ dus gelijkbenig met $|AD| = |QD|$), dus is $\angle POC = 2x$. Verder is $\angle BAD = \angle BDC = 2x$. Als we bewijzen dat $\angle BCD = \angle BOD = 2x$, dan zijn we klaar.
Merk nu op dat $\angle BOD = \angle BOC - \angle DOC = \angle BOP + \angle POC - \angle DOC$. Als we bewijzen dat $\angle BOP = \angle DOC$, zijn we dus klaar want $\angle POC = 2x$.
We bewijzen dat $\triangle BOP$ en $\triangle DOC$ congruent zijn.
1) $|OP| = |OC|$ (straal omgeschreven cirkel)
2) $\angle OPB = \angle OCP = 90+x$ (simpele angle-chasing)
3) $|BP| = |CD|$ want in $\triangle ABP$ is $\angle BPA = \angle BAP = x$ wat impliceert dat $|BA| = |PB|$, maar $ABCD$ is een parallellogram dus $|BP| = |BA| = |DC|$ wat te bewijzen was.
ZHZ compleet en bewijs dus ook compleet. $BOCD$ is cyclisch en is dus $\angle OBC = \angle ODC$.