JWO 2018

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat voor elk natuurlijk getal $a>1$ geldt dat het niet mogelijk is dat $a-1$ en $a^3-1$ beide een volkomen kwadraat zijn.

Vraag 2 Opgelost!

Filip en Laurent gaan beide frietjes eten.
Ze delen een zak met $2018$ frieten, waarbij ze elk om beurt $1,2$ of $5$ frieten mogen verorberen.
Degene die het laatste frietje neemt, die betaalt de rekening.
Wie zal de kosten moeten betalen, als je weet dat Filip als eerste mocht beginnen eten en beide slim zijn en niet willen betalen.

Vraag 3 Opgelost!

Hoeveel niet-congruente vijfhoeken zijn er waarvan $4$ hoeken gelijk zijn aan $120^{\circ}$ en waarvan de zijdelengten opeenvolgende natuurlijke getallen zijn.

Vraag 4 Opgelost!

In een gelijkbenige driehoek $\Delta ABC$ met tophoek $\hat B$ is $F$ een punt op de zijde $[BC]$ zodat $AF$ de deellijn is van de basishoek $\hat A.$ Bovendien is $|AF|+|FB|=|AC|.$
Bepaal $\hat B$.