niet beide een kwadraat

Stel dat er wel een natuurlijk getal a met $a$ > $1$ bestaat waarvoor a - 1 en $a^3 - 1$ allebei een volkomen kwadraat zijn.

Dan is $a^3 - 1 = (a-1)(a²+a+1)$ een volkomen kwadraat en bijgevolg is $a² + a + 1=\frac{a^3-1}{a-1}$ ook een volkomen kwadraat. Dit omdat $a^2+a+1$ een natuurlijk getal moet zijn en een quotiënt $\frac{x^2}{y^2}=\left( \frac xy \right)^2$ van natuurlijke getallen is een natuurlijk getal asa $\frac xy$ natuurlijk is.

Merk nu op dat $ a² < a² + a + 1 < a² + 2a + 1 = (a + 1)²$ (want a > 1) en $a² + a + 1$ dus tussen 2 opeenvolgende volkomen kwadraten ligt, zodat het geen volkomen kwadraat kan zijn.

Dit is in strijd met het veronderstelde, dus weten we dat er geen natuurlijk getal a met a > 1 bestaat waarvoor a-1 en a³ - 1 beide een volkomen kwadraat zijn.