JWO 2011

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat als $a+b+c+d=0$ geldt dat $(ac-bd)(bc-ad)(ab-cd)$ een volkomen kwadraat is.

Vraag 2 Opgelost!

In een klas zitten $18$ leerlingen. Aan elke leerling werd 2 vragen gesteld:
hoeveel andere leerlingen dezelfde voornaam heeft
en hoeveel dezelfde achternaam heeft.
De antwoorden $0,1,2,3,4,5,6,7$ kwamen allemaal minimum $1$ keer voor.
Bewijs dat er $2$ leerlingen dezelfde voor- en achternaam heeft.
****
voetnoot: een prof vroeg zich nog af of het niet strenger moest worden geformuleerd voor de exacte bovengrens, deze is $23$ en maakt de opgave minder triviaal.

Vraag 3 Opgelost!

Een natuurlijk getal is prima als ieder deel van het getal zelf een priemgetal is (opeenvolgende cijfers ervan), bepaal alle primagetallen?

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal het getal $\gamma$ zodat als in een driehoek $ABC$ waarvan de zwaartelijnen uit $B,C$ loodrecht op elkaar staan, geldt dat $|AB|^2+|AC|^2=\gamma |BC^2|.$