JWO 2006

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat $(1+m)(1+\frac{m}{2})(1+\frac{m}{2})\cdots(1+\frac{m}{n})=(1+n)(1+\frac{n}{2})(1+\frac{n}{3})\cdots(1+\frac{n}{m}) $

Vraag 2 Opgelost!

Een rechthoekig blad van $12 cm $ bij $16 cm$ wordt overlangs gevouwen zodat punt $B$ samenvalt met punt $A. $ Het lijnstuk $[MN]$ toont de vouw. Bepaal alle mogelijk posities van een punt $P$ op de rand van het blad zodat de oppervlakte van driehoek $MNP$ gelijk is aan $54 cm^2$.

Opmerkingen: $A $ en $B$ zijn overstaande hoekpunten. $M$ en $N $ zijn de snijpunten van de vouw met de lange zijden van de rechthoek.

Vraag 3 Opgelost!

Op een gewone, kubusvormige dobbelsteen is de som van het aantal ogen op elke twee overstaande zijvlakken gelijk aan $7.$ Met precies $343$ identieke dergelijke dobbelstenen bouwen we een grote, volle kubus.

Bepaal het maximaal aantal ogen dat zich in het totaal op de $6$ zijvlakken van de grote kubus bevindt.

Vraag 4 Opgelost!

Een kruiswoordraadsel van vijf bij vijf kan volledig worden ingevuld met woorden van niet meer dan drie letters. Vanuit elk wit vlak moet elk ander wit vakje bereikbaar zijn door alleen maar horizontaal of vertikale stappen te zetten zonder over zwarte vakjes te passeren.

Wat is het minimaal aantal zwarte vakjes waarvoor dit mogelijk is?