knippen van blad (nee, ik vind geen saaiere titel)

http://www3.picturepush.com/photo/a/5520936/img/Anonymous/BEWIJS-MN.jpg

Als je een blad vouwt dan wordt het deel dat aan de ene kant van de vouw was gespiegeld over de andere kant.
M.a.w., op het blad wordt $A$ gespiegeld op $B$ door een vouw, waarvan $M$ en $N$ de snijpunten op de randen van het blad zijn.
$AB \bot MN$, en $MN$ gaat door het midden van $AB$.
We noemen het midden O.
$|AO|=|OB|=\frac{1}{2} |AB|$
$|NO|=|OM|=\frac{1}{2} |MN|$

$|AB|^2=(16cm)^2+(12cm)^2 $(Pythagoras)
$\Rightarrow |AB|^2=256cm^2+144cm^2 \Leftrightarrow |AB|^2=400cm^2 \Leftrightarrow |AB|=20cm$
$\Rightarrow |AO|=10cm=|OB|$

In $ANO$:
$O$ is rechthoekig ($MN$ ligt loodrecht op $AB$)
Dus is $|AO|^2+|ON|^2=|AN|^2 \Leftrightarrow (10cm)^2+|ON|^2=|AN|^2$
De oppervlakte van $ANO$ is $\frac{|AN|*(6cm)}{2}$ (het midden van de korte zijde van het blad)
Of we kunnen het ook schrijven als $\frac{|AO|*|ON|}{2}$
$\Rightarrow \frac{|AN|*(6cm)}{2} = \frac{|AO|*|ON|}{2} \Leftrightarrow |AN|*(6cm) = (10cm)*|ON|$
We hebben nu een stelsel met $2$ vergelijkingen met $2$ onbekenden.
Voor het gemak gaan we $|AN|$ $x$ noemen en $|ON|$ $y$.
$x*(6cm) = y*(10cm) \Leftrightarrow x=\frac{5}{3} y$
$(10cm)^2 + y^2 = x^2 \Leftrightarrow 100cm^2 + y^2 = (\frac{5}{3} y)^2 \Leftrightarrow 100cm^2 + y^2 = \frac{25}{9} y^2 \Leftrightarrow 100cm^2=\frac{16}{9} y^2$ $\Leftrightarrow \frac{4}{3} y=10cm \Leftrightarrow y=7,5 cm$
$\Rightarrow x = \frac{5}{3} * 7,5cm = 12,5cm$
$|MN|$ is dus $7,5cm*2=15cm$

De oppervlakte van $MNP$ moet $54cm^2$ zijn.
$[MN]$ is de basis.
$opp.=b*h/2 \Rightarrow 54cm^2=\frac{15cm*h}{2} \Leftrightarrow h=\frac{54cm^2}{15cm} *2=7,2cm$
$P$ ligt dus op $7,2$ cm van $MN$.
We tekenen een rechte die op $7,2$ cm van $MN$ ligt, en we zoeken waar het precies snijdt op de zijden.

We noemen het snijpunt met de lange zijde $X$ en met de korte zijde $Y$. Het snijpunt met $AB$ noemen we $Z$.

1) $AXZ$ en $ANO$ zijn gelijkvormig ($A$ gemeenschappelijk, $X$ en $N$ zijn ook gelijk omdat ze overeenkomstige hoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn, en ook $Z$ en $O$ zijn gelijk omdat ze overeenkomstige hoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn).
De verhoudingen van hun lengtes zijn dus ook gelijk.
$\frac{|AO|}{|AZ|}=\frac{|AN|}{|AX|}$
$|AO|=\frac{1}{2}|AB|=10cm$
$|AZ|=|AO|-|ZO|=10cm-7,2cm $($|ZO|$ is de afstand tussen $MN$ en de rechte die we hebben getekend) $=2,8cm$
$|AN|=12,5cm$
$\Rightarrow\frac{10cm}{2,8cm}=\frac{12,5cm}{|AX|} \Leftrightarrow |AX|=\frac{12,5cm*2,8cm}{10cm}=\frac{25/2 cm * 14/5 cm}{10cm} = \frac{35cm^2}{10cm} = 3,5 cm$
Een mogelijke positie van een punt $P$ is op $3,5 cm$ van $A$ op de lange zijde, en er is ook nog een andere mogelijke positie op $3,5 cm$ van $B$ op de lange zijde aan haar kant ($A$ en $B$ zijn elkaars spiegelbeeld door $MN$, en de punten die op $7,2 cm$ van $MN$ liggen, liggen op dezelfde afstand van $A$ op de lange zijde als $B$ op de lange zijde aan haar kant)

2) In $AXY$:
$A$ is rechthoekig.
De hoogte $|AZ|$ is $2,8 cm$.
Rechthoekszijde $|AX|$ is $3,5 cm$.
$\Rightarrow oppervlakte = \frac{|AX|*|AY|}{2} = \frac{|AZ|*|XY|}{2} \Leftrightarrow (3,5cm)*|AY|=(2,8cm)*|XY|$ $\Leftrightarrow |XY|=\frac{3,5cm}{2,8cm} |AY| \Leftrightarrow |XY| = \frac{5}{4} |AY| $
$\Rightarrow |AX|^2+|AY|^2=|XY|^2$ (Pythagoras) $\Leftrightarrow (3,5cm)^2 + |AY|^2 = (\frac{5}{4} |AY|)^2 \Leftrightarrow \frac{25}{16} |AY|^2 - |AY|^2 = 3,5cm^2 \Leftrightarrow \frac{9}{16} |AY|^2 = 3,5cm^2$ $\Leftrightarrow \frac{3}{4} |AY| = 3,5cm \Leftrightarrow |AY| = 3,5cm *\frac{4}{3} = \frac{14}{3} cm$
Een mogelijke positie van een punt $P$ is op $\frac{14}{3} cm$ van $A$ op de korte zijde, en er is ook nog een andere mogelijke positie op $\frac{14}{3} cm$ van $B$ op de korte zijde aan haar kant ($A$ en $B$ zijn elkaars spiegelbeeld door $MN$, en de punten die op $7,2 cm$ van $MN$ liggen, liggen op dezelfde afstand van $A $op de lange zijde als $B$ op de lange zijde aan haar kant)