7^3-kubus
Opgave - JWO 2006 dag 1 vraag 3
Op een gewone, kubusvormige dobbelsteen is de som van het aantal ogen op elke twee overstaande zijvlakken gelijk aan $7.$ Met precies $343$ identieke dergelijke dobbelstenen bouwen we een grote, volle kubus.
Bepaal het maximaal aantal ogen dat zich in het totaal op de $6$ zijvlakken van de grote kubus bevindt.
- login om te reageren
Oplossing
$343$ is $7^3$, dus liggen er aan elke ribbe van de grote kubus $7$ ribben van dobbelstenen.
Er zijn dus per zijvlak van de grote kubus $7^2=49$ zijvlakken van dobbelstenen zichtbaar.
In totaal komt uit dat er $49*6=294$ zijvlakken van kubussen zichtbaar zijn.
We zouden nu kunnen denken dat het maximaal aantal ogen dat zich in totaal op de $6$ zijvlakken van de grote kubus het aantal zijvlakken $* 6$ (max. aantal ogen op een zijvlak op een dobbelsteen) is, dus $294*6=1764$ ogen.
Maar, de dobbelstenen die aan de ribben van de grote kubus liggen hebben $2$ zijvlakken zichtbaar, en degenen die aan de hoeken van de kubus liggen zelfs $3$ zijvlakken zichtbaar.
Het aantal dobbelstenen aan een ribbe van de kubus zonder degenen die in de hoeken liggen is $2*12*5=120$. (per ribbe liggen er $7$ dobbelstenen, waarvan $2$ in de hoeken, dus $5$ in het midden).
Het maximum aantal zichtbare ogen voor die dobbelstenen zijn $6$ aan een kant, en $5$ ernaast. Dus moeten er voor de helft van de zijvlakken aan de ribben die niet aan de hoeken liggen, nml $120/2$ zijvlakken $5$ zichtbare ogen ipv $6$ zijn. (1)
Nu moet men nog rekening houden met de zijvlakken in de hoeken. Er zijn $8$ hoeken in een kubus, en bij elke hoek liggen er $3$ zijvlakken van dobbelstenen. Er zijn dus in totaal $3*8=24$ zichtbare zijvlakken aan de hoeken. Het maximum ogen voor die $3$ zijvlakken is $6$, $5$, en $4$. Er moeten dus een derde van de zijvlakken $=24/3=8$ in de hoeken $5$ ogen ipv $6$ bevatten, en nog een derde ($=8$) $4$ ipv $6$. (2)
Uit (1) en (2) volgt dat het maximaal aantal zichtbare ogen gelijk is aan $1764-60-8-8*2=1680$.
$\sqrt[3] {343} = 7$
$7^2 = 49$
$49.6 = 294$ (het aantal getoonde dobbelsteenvlakken)
Van de $6$ vlakken zijn er $2$ waarop iedere dobbelsteen $6$ ogen toont. => $6.49.2 = 588$
Van de overige $4$ vlakken zijn er $2$ waarop alle dobbelstenen behalve de rijen grenzend aan de eerste $2$ vlakken een $6$ kunnen tonen (er zijn dus $2.14$ dobbelstenen die een $5$ tonen). => $2.6.(49-14) + 2.5.14 = 560$
De overige $2$ vlakken kunnen overal een 6 tonen, behalve in de buitenste rand dobbelstenen (die bestaat uit $24$ stenen). Die rand toont op de hoekpunten, waar een dobbelsteen zit die zowel $6$ als $5$ toont op de andere vlakken, steeds een $4$ en op de overige $20$ dobbelstenen in de rand een $5$. => $2.6.(49-24) + 2.4.4 + 2.5.(24-4)= 300 + 32 + 200 = 532$
Samen: $588 + 560 + 532 = 1680$
De kubus kan maximaal $1680$ ogen tonen op zijn zijvlakken.
PS: we zien nu achteraf dat deze manier het max. bereikt omdat geen enkele dobbelsteen een aantal toont op een vlakje dat kleiner is dan een aantal dat het verbergt,
zodat wisselen van vlakken, een afname betekent, $1680$ is dus zeker het maximum.
De grote kubus heeft als ribbe 7, want 7 tot de derde=343.
We verdelen de dobbelstenen, die zich op de zijvlakken van de kubus bevinden, in drie categorieën, naargelang hun plaats op de kubus.
Het maximale aantal ogen op iedere dobbelsteen is onafhankelijk, dus kunnen we de maximale aantallen optellen om het totale maximum te vinden.
1) dobbelstenen op de hoekpunten
Hiervan zijn er 8 dobbelstenen, waarvan telkens 3 zijvlakken met één gemeenschappelijk hoekpunt zichtbaar zijn. Het maximaal aantal ogen per dobbelsteen is hierbij $6+5+4$, wat wel degelijk mogelijk is, omdat deze drie vlakken altijd op deze manier (met één gemeenschappelijk hoekpunt) t.o.v. elkaar liggen.
Het maximaal aantal ogen voor deze dobbelstenen is dus $8*(6+5+4)=120.$
2) dobbelstenen op de ribben
Hiervan zijn er $(7-2)*12=60$ dobbelstenen, waarvan telkens $2$ zijvlakken met één gemeenschappelijke ribbe zichtbaar is. Op deze dobbelstenen kunnen er maximaal $11=6+5$ ogen staan, wat ook mogelijk is.
3) dobbelstenen op de zijvlakken
Hiervan zijn er $(7-2)(7-2)*6=150$ dobbelstenen, waarvan telkens 1 zijvlak zichtbaar is dat maximaal gelijk is aan $6$.
Het maximaal aantal ogen op deze dobbelstenen is $150*6=900$.
In totaal bedraagt het maximaal aantal ogen dus $120+660+900=1680.$