PUMA 2023
Dag 1
Vraag 1
200 wiskundestudenten zitten op Facebook. Elk van hen is met minstens $n$ andere studenten bevriend.
- Hoe groot moet $n$ minimaal zijn zodat elke 2 studenten zeker ofwel bevriend zijn ofwel een gemeenschappelijke vriend hebben?
- Bewijs dat, bij die minimale $n$, studenten die niet bevriend zijn meteen ook 2 gemeenschappelijke vrienden hebben.
- Hebben, bij die minimale $n$, bevriende studenten ook altijd een gemeenschappelijke vriend?
Vraag 2
Als $\sin^3\theta+\cos^3\theta=\frac{11}{16}$, waaraan is $\sin\theta+\cos\theta$ dan gelijk?
Vraag 3
Toon aan voor $n\geq 6$ dat men een gelijkzijdige driehoek volledig kan verdelen in $n$ (niet-overlappende) gelijkzijdige driehoeken (die van verschillende grootte kunnen zijn).
Vraag 4
- Beschouw een $8\times8$ schaakbord, waarvan het $3\times3$ vierkant linksonder gevuld is met kikkers (1 kikker per veld). Een kikker verplaatst zich door over een andere kikker te springen die op een aangrenzend veld staat. Kunnen de kikkers op zo een manier springen dat ze eindigen in het $3\times3$ vierkant rechtsboven?
- Bewijs dat een paard nooit een gesloten wandeling kan maken op een schaakbord van grootte $4\times n$ zodat hij elke tegel juist 1 keer bezoekt. (Een paard beweegt volgens de schaakregels: hij zet 2 stappen in een richting (horizontaal/verticaal) en dan 1 stap loodrecht op de vorige 2 stappen. Een paard ``bezoekt'' enkel de tegels waar hij voor of na een zet op staat en dus niet de velden waar hij tijdens een zet overloopt.)
Vraag 5
Stel $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ een matrix.
Gegeven een vector $X \in \mathbb{R}^{m \times 1}$, bewijs dat er een vector $Y \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ bestaat met $A^T A Y=A^T X$.
Vraag 6
Stel $a,b$ strikt positieve reële getallen.
Bereken
\[\int_a^b \frac{e^{\frac{x}{a}}-e^{\frac{b}{x}}}{x}\text{d}x\]
