som der hoeken in een viervlak
Opgave - CanMO 1979 vraag 2
Het is welgekend dat de som van de hoeken van een driehoek constant is. Bewijs echter dat de som van de dihedrale hoeken van een viervlak niet constant is. (Een dihedrale hoek is de binnenste hoek tussen twee vlakken.)
- login om te reageren
Oplossing
We beschouwen viervlak met een gelijkzijdig grondvlak en congruente gelijkbenige opstaande zijvlakken. Als we de hoogte naar 0 laten gaan, zal de hoek tussen twee opstaande zijvlakken naar 180° gaan en de hoek tussen het grondvlak en een opstaande zijde naar 0°. In de limiet is de som dus $3\cdot 180^°=540^°$. Als we de hoogte naar oneindig laten gaan, dan gaat de hoek tussen twee opstaande zijden naar 60° en de hoek tussen het grondvlak en een opstaande zijde naar 90°, dus wordt de som van de hoeken in de limiet $3\cdot 60^° + 3\cdot 90^°=450^°$. Tussen deze twee limietgevallen zal de som dus niet constant zijn.