AM-GM?
Opgave - CanMO 1979 vraag 1
Gegeven:
(i)$a,b>0$;
(ii)$a,R_1,R_2,b$ is een rekenkundige rij;
(iii)$a,M_1,M_2,b$ is een meetkundige rij;
Toon aan dat
$$R_1R_2\geq M_1M_2.$$
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 2 gasten online.
Oplossing
Via (ii) zien we dat R1 = $(2a+b)/3$ en R2=$(a+2b)/3$,
$M1*M2=ab$ weten we via (iii), te bewijzen is dus
$(2a+b)/3$*$(a+2b)/3\geab$ <=> $2a^2+2b^2+5ab\ge9ab$, maar dit volgt uit $2a^2+2b^2\ge4ab$ wat klopt met AM-GM of $2(a-b)^2\ge0$.