schaduw

Neem kubus ABCDEFGH, zodat ABCD in tegenwijzerzin het grondvlak van de kubus vormt, en E zich boven A bevindt, F boven B, G boven C en H boven D. Neem als vierkant in de kubus KLMN, met K het midden van ABCD, L het midden van CGHD, M het midden van EFGH en N het midden van ABFE. Laat de lamp in hoek F liggen (zonder verlies van algemeenheid).

Het vlak FMN snijdt vlak AEH, dus deze hebben een rechte gemeen. Aangezien FM het vlak AEH snijdt in H, en FN het vlak snijdt in A, is AH de snijlijn. [AH] vormt dus de grens tussen een bestraald oppervlak en een schaduwoppervlak op de kubus. Analoog vinden we dat [AK] en [HL] grenzen vormen tussen bestraald oppervlak en schaduwoppervlak.

Bekijk driehoek FKL. Wegens de symmetrie van een kubus is deze gelijkbenig, met |FK| = |FL|, en kunnen we een punt U op [CD] vinden zodat U in het vlak FKL ligt en driehoek KUL ook gelijkbenig is, met |KU| = |LU|. Zij T het midden van [KL], dan is FT de middelloodlijn van [KL], dus ook de hoogtelijn in driehoek KUL vanuit top U, waardoor FT en [CD] snijden in U. We vinden op dezelfde manier als hiervoor dat [KU] en [LU] de grenzen zijn tussen bestraald oppervlak en schaduwoppervlak.

Nu hebben we het schaduwoppervlak op de kubus afgebakend, aangezien we voor elk vlak door F en 2 aanliggende hoekpunten van vierkant KLMN de doorsnede met de kubus hebben bekeken. Dit schaduwoppervlak bestaat uit driehoeken ADH, AKD, DLH, KDU en LUD. Merk nu op dat er ook een kant van het vierkant KLMN is waar F niet op kan schijnen, waardoor dit oppervlak ook schaduwoppervlak is. De zijde van dit vierkant heeft lengte $\frac{\sqrt{2}}{2}a$.

Nu berekenen we nog |UD|. Zij P het midden van [CD]. We bereken nu dat $|PT| = \frac{\sqrt{2}}{4}a$ en $|CF| = \sqrt{2}a$. Driehoek CFU en driehoek PTU zijn gelijkvormig, aangezien ze een gemeenschappelijke hoek $\angle$TUP hebben en TP // CF. Daardoor geldt:
$$\frac{|PT|}{|CF|} = \frac{|PU|}{|CU|} = \frac{|PU|}{|PU|+ |CP|}$$
$$\Leftrightarrow \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}a}{\sqrt{2}a} = \frac{|PU|}{|PU| + \frac{a}{2}}$$
$$\Leftrightarrow |PU| = a/6$$
Hieruit kunnen we |UD| berekenen:
$$|UD| = |CD| - |CP| - |PU| = a – \frac{1}{2}a – \frac{1}{6}a = \frac{1}{3}a$$

Door de schaduwoppervlaktes op te tellen (in volgorde van de vermelding ervan in de vierde alinea) krijgen we de totale schaduwoppervlakte:
$$\frac{1}{2}a^{2} + 2*\frac{1}{4}a^{2} + 2*\frac{\frac{a}{3}*\frac{a}{2}}{2} + \frac{1}{2}a^{2} = \frac{5}{3}a^{2}$$