Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Balkanlanden › BaMO › 2005 › gelijkzijdig

gelijkzijdig

Tags:

Opgave - BaMO 2005 vraag 1

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek waarvan de ingeschreven cirkel $AB$ en $AC$ raakt in $D$ en $E$ respectievelijk. Zij $X$ en $Y$ de snijpunten van de bissectrices van $\angle ACB$ en $\angle ABC$ met $DE$ respectievelijk, en zij $Z$ het midden van $BC$. Bewijs dat de driehoek $XYZ$ gelijkzijdig is als en slechts als $\angle A=60^\circ$.

Oplossing

Ingediend door Jan

We weten dat $\angle AED = \frac{\angle B + \angle C}{2} = \angle ECX + \angle EXC$, dus volgt dat $CYXB$ cyclisch is.

Triviaal volgt nu uit wat spelen met hoeken dat $IDXB$ cyclisch is. Dus geldt

$$90^{\circ} = \angle IDB = \angle IXB = \angle CXB$$

$CB$ is dus de diameter van cirkel door punten $C,Y,X,B$. Bijgevolg is $Z$ het middelpunt van die cirkel, en is $\left|ZY\right| = \left|ZX\right|$.

We kunnen afleiden dat $\angle DIX = \frac{\angle A}{2} - \frac{\angle B}{2}$ uit het feit dat we het supplement ervan kunnen berekenen in vierhoek $ADIC$.
Er geldt nu dus dat $\angle XZY = 2\angle XBY = \angle A$

Dus is duidelijk $\Delta XYZ$ gelijkzijdig $\iff \angle A = 60^{\circ}$.

Merk op dat dit probleem eigenlijk equivalent is met vraag 2 van de Olympische competitie van QED in juni.
We zouden de vraag ook als volgt kunnen stellen, het blijft volledig equivalent:
Bewijs dat de middelpunten van $AB$ en $AC$ collineair zijn met $X,Z$ en $Y,Z$ respectievelijk.

Ik moet het misschien eens opsturen naar 'de Fernand' :grin: :smile: