BaMO 2005

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABC$ een scherphoekige driehoek waarvan de ingeschreven cirkel $AB$ en $AC$ raakt in $D$ en $E$ respectievelijk. Zij $X$ en $Y$ de snijpunten van de bissectrices van $\angle ACB$ en $\angle ABC$ met $DE$ respectievelijk, en zij $Z$ het midden van $BC$. Bewijs dat de driehoek $XYZ$ gelijkzijdig is als en slechts als $\angle A=60^\circ$.

Vraag 2

Vind alle priemgetallen $p$ zodat $p^2-p+1$ een derdemacht is.

Vraag 3

Zij $a,b,c$ positieve reële getallen. Bewijs dat
$$\frac{a^2}b+\frac{b^2}c+\frac{c^2}a\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}.$$
Wanneer treedt gelijkheid op?

Vraag 4

Zij $n\geq2$ een natuurlijk getal en $S\subseteq\{1,...,n\}$ zodat $S$ noch twee elementen bevat waarvan er één een deler is van het ander, noch twee elementen bevat die onderling ondeelbaar zijn. Wat is het maximum aantal elementen van zo'n verzameling $S$?