Home › Archief › Internationale Olympiades › Balkanlanden › BaMO › 1996 › dichter bij een punt

dichter bij een punt

Tags:

Opgave - BaMO 1996 vraag 1

Bewijs dat in iedere driehoek, het midden van de omgeschreven cirkel dichter bij het zwaartepunt van de driehoek ligt dan bij het midden van de ingeschreven cirkel.

Oplossing

Ingediend door Jan

$$OH^2 = 9R^2-(a^2+b^2+c^2) = 9 OZ^2$$

We moeten dus bewijzen dat $$OI^2 = R^2-2rR \geq R^2-\frac{1}{9} (a^2+b^2+c^2)$$
Wat wegens $$Rr = \frac{rs}{s}\cdot \frac{4R}{abc} \cdot \frac{abc}{4} = S\cdot\frac{1}{S}\cdot \frac{abc}{4s}$$
equivalent is met $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 9abc$$

Wat triviaal is met $AM-GM$ en $QM-GM$.