Screensaver

Wanneer Lotte haar computer enkele minuten niet aanraakt, gaat deze over in screensave
modus. Haar scherm wordt onderverdeeld in een rooster van $m$ bij $n$ pixels $(m, n \ge 2)$.
Vanuit de linker bovenhoek verschijnt een gekleurd blokje ter grootte van een pixel, dat
schuin beweegt op het scherm volgens een hoek van $45^\circ$. Wanneer het blokje aan de
rand uitkomt, gaat deze verder op de diagonaal die $90^\circ$ gedraaid is ten opzichte van de
vorige lijn. Zo beweegt het verder tot het uiteindelijk in een hoekpunt uitkomt.

1. Bewijs dat het blokje altijd in een hoek terechtkomt.
2. Bewijs dat nooit (strikt) meer dan de helft van alle pixels op het scherm door de pixel bezocht kunnen worden.
3. Bepaal alle koppels $(m, n)$ waarvoor exact de helft van alle pixels bezocht kunnen worden.