PUMA 2022
Dag 1
Vraag 1
Een veelvlak is convex als voor elke twee punten die het bevat, de verbindingsrechte er ook in is bevat. De formule van Euler voor convexe veelvlakken stelt dat $H-R+V=2$ voor elk convex veelvlak met $H$ hoeken, $R$ ribben en $V$ vlakken. Gegeven is een convex veelvlak met $30$ vlakken waarvan je weet dat alle vlakken vierhoeken zijn.
- Hoeveel ribben heeft het veelvlak?
- Hoeveel hoeken heeft het veelvlak?
- Gegeven dat elke hoek grenst aan juist $3$ of $5$ vlakken, hoeveel hoeken zijn er dan van elke soort?
Vraag 2
Beschouw alle getallen van $1$ tot en met $10^{2022}$ in decimale schrijfwijze. Wat is de som van al hun cijfers?
Vraag 3
Bepaal alle $\mathbb C \rightarrow \mathbb C$ functies $f$ die voldoen aan $$f(x+y) = f(x)f(y) + xy$$ voor alle $x,y\in\mathbb C$
Vraag 4
Vind alle koppels $(a,b,c)\in\mathbb N^3$ die voldoen aan $$a!b! = a! + b! + c!$$
Vraag 5
Wanneer Lotte haar computer enkele minuten niet aanraakt, gaat deze over in screensave
modus. Haar scherm wordt onderverdeeld in een rooster van $m$ bij $n$ pixels $(m, n \ge 2)$.
Vanuit de linker bovenhoek verschijnt een gekleurd blokje ter grootte van een pixel, dat
schuin beweegt op het scherm volgens een hoek van $45^\circ$. Wanneer het blokje aan de
rand uitkomt, gaat deze verder op de diagonaal die $90^\circ$ gedraaid is ten opzichte van de
vorige lijn. Zo beweegt het verder tot het uiteindelijk in een hoekpunt uitkomt.
- Bewijs dat het blokje altijd in een hoek terechtkomt.
- Bewijs dat nooit (strikt) meer dan de helft van alle pixels op het scherm door de pixel bezocht kunnen worden.
- Bepaal alle koppels $(m, n)$ waarvoor exact de helft van alle pixels bezocht kunnen worden.
Vraag 6
Zij $A$ en $B$ reële symmetrische matrices waarvan alle eigenwaarden strikt groter zijn dan $1$. Bewijs dat voor iedere eigenwaarde $\lambda$ van $AB$ geldt dat $|\lambda|>1$.