PUMA 2022

Dag 1

Vraag 1

Een veelvlak is convex als voor elke twee punten die het bevat, de verbindingsrechte er ook in is bevat. De formule van Euler voor convexe veelvlakken stelt dat $H-R+V=2$ voor elk convex veelvlak met $H$ hoeken, $R$ ribben en $V$ vlakken. Gegeven is een convex veelvlak met $30$ vlakken waarvan je weet dat alle vlakken vierhoeken zijn.

  1. Hoeveel ribben heeft het veelvlak?
  2. Hoeveel hoeken heeft het veelvlak?
  3. Gegeven dat elke hoek grenst aan juist $3$ of $5$ vlakken, hoeveel hoeken zijn er dan van elke soort?

Vraag 2

Beschouw alle getallen van $1$ tot en met $10^{2022}$ in decimale schrijfwijze. Wat is de som van al hun cijfers?

Vraag 3

Bepaal alle $\mathbb C \rightarrow \mathbb C$ functies $f$ die voldoen aan $$f(x+y) = f(x)f(y) + xy$$ voor alle $x,y\in\mathbb C$

Vraag 4

Vind alle koppels $(a,b,c)\in\mathbb N^3$ die voldoen aan $$a!b! = a! + b! + c!$$

Vraag 5

Wanneer Lotte haar computer enkele minuten niet aanraakt, gaat deze over in screensave
modus. Haar scherm wordt onderverdeeld in een rooster van $m$ bij $n$ pixels $(m, n \ge 2)$.
Vanuit de linker bovenhoek verschijnt een gekleurd blokje ter grootte van een pixel, dat
schuin beweegt op het scherm volgens een hoek van $45^\circ$. Wanneer het blokje aan de
rand uitkomt, gaat deze verder op de diagonaal die $90^\circ$ gedraaid is ten opzichte van de
vorige lijn. Zo beweegt het verder tot het uiteindelijk in een hoekpunt uitkomt.

  1. Bewijs dat het blokje altijd in een hoek terechtkomt.
  2. Bewijs dat nooit (strikt) meer dan de helft van alle pixels op het scherm door de pixel bezocht kunnen worden.
  3. Bepaal alle koppels $(m, n)$ waarvoor exact de helft van alle pixels bezocht kunnen worden.

Vraag 6

Zij $A$ en $B$ reële symmetrische matrices waarvan alle eigenwaarden strikt groter zijn dan $1$. Bewijs dat voor iedere eigenwaarde $\lambda$ van $AB$ geldt dat $|\lambda|>1$.