snijden op een cirkel
Opgave - BxMO 2020 dag 1 vraag 3
Zij $\triangle ABC$ een driehoek. De cirkel $\omega_A$ gaat door $A$ en raakt lijn (rechte) $BC$ in $B$. De cirkel $\omega_C$ gaat door $C$ en raakt lijn (rechte) $AB$ in $B$. De cirkels $\omega_A$ en $\omega_C$ snijden een tweede keer in het punt $D$. Zij $M$ het midden van de zijde $BC$ en zij $E$ het snijpunt van de lijnen (rechten) $MD$ en $AC$. Bewijs dat $E$ op de cirkel $\omega_A$ ligt.
- login om te reageren
Oplossing
Noem $E'$ het snijpunt van $w_a$ met $BC$.
Doordat $\angle ABD= \angle BCD$ (raaklijn-omtrekshoek)
en $\angle ABD= \angle CE'D$ ($ABDE'$ is een koordenvierhoek)
volgt dat $BC$ raakt aan $(E'DC)$.
$DE'$ is duidelijk de machtlijn van $(ABDE')$ en $(EDC)$ en dus gaat het door $M$ (gelijke macht nemen ($BC$ raaklijn ) t.o.v.) beide cirkels.
Er geldt dus $E'=E$.