BxMO 2020

Dag 1

Vraag 1

Vind alle (strikt) positieve gehele getallen $d$ met de volgende eigenschap: er bestaat een polynoom (veelterm) $P$ van graad $d$ met gehele coefficienten zodat $| P(m) | =1$ voor minstens $d+1$ verschillende gehele getallen $m$.

Vraag 2

In deze vraag wordt er gesproken over tegels.
Hiermee wordt steeds verwezen naar een vierkante tegel met daarop 2 evenwijdige lijnen getrokken, die de middens van een paar zijden verbinden.

Zij $N$ een (strikt) positief geheel getal. Uit $4N^2$ tegels wordt een $2N\times 2N$-bord opgebouwd. De tegels mogen gedraaid worden.

De lijnstukken op de tegels vormen paden op het bord. Bepaal het kleinste aantal paden en het grootste aantal paden dat kan voorkomen.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $\triangle ABC$ een driehoek. De cirkel $\omega_A$ gaat door $A$ en raakt lijn (rechte) $BC$ in $B$. De cirkel $\omega_C$ gaat door $C$ en raakt lijn (rechte) $AB$ in $B$. De cirkels $\omega_A$ en $\omega_C$ snijden een tweede keer in het punt $D$. Zij $M$ het midden van de zijde $BC$ en zij $E$ het snijpunt van de lijnen (rechten) $MD$ en $AC$. Bewijs dat $E$ op de cirkel $\omega_A$ ligt.

Vraag 4

Een deler $d$ van een (strikt) positief geheel getal $n$ noemen we evenwichtig als $\sqrt{n} < d < 2\sqrt{n}$.
Bestaat er een (strikt) positief geheel getal met precies $2020$ evenwichtige delers?