CS zelf bewijzen
Opgave - JWO 2017 dag 1 vraag 4
Een cirkel met straal 1 en een cirkel met straal r > 1 hebben hetzelfde middelpunt. De
oppervlakte van de kleine cirkel noemen we A. De oppervlakte van de ring begrensd door
beide cirkels noemen we B.
De driehoek $\triangle UVW$ is rechthoekig. Een rechte snijdt de schuine zijde [V W ] loodrecht in
X en snijdt [UW ] in Y . Neem s > 1 zodat |UV | = s · |XY |. De oppervlakte van $\triangle XY W$
noemen we C en de oppervlakte van de vierhoek $UVXY$ noemen we D.
Bewijs dat $\sqrt{AC}+\sqrt{BD}=\sqrt{(A + B)(C + D)}$ als en slechts als r = s.
- login om te reageren
Oplossing
Merk op dat $A=\pi$, $B=\pi(r^2-1)$ en $A+B=\pi r^2.$
Driehoek $UVW$ is gelijkvormig met $XYW$ (HH), hierbij is gegeven dat de gelijkvormigheidsfactor gelijk is aan $s$.
Merk op dat $C+D=s^2 C$ en $D=(s^2-1)C.$
Wanneer we hetgeen te bewijzen is, delen door $\sqrt{\pi*C}$,
moeten we bewijzen dat $1+\sqrt{(r^2-1)*(s^2-1)} = rs$ asa $r=s$.
Merk nu op dat zowel $\sqrt{(r^2-1)*(s^2-1)}$ als $rs-1$ positief zijn.
Verder is $(r^2-1)*(s^2-1)=(rs-1)^2$ equivalent met $(r-s)^2=0$, waaruit hetgeen te bewijzen is, volgt.