"te" makkelijke vraag
Opgave - JWO 2017 dag 1 vraag 3
Voor elk natuurlijk getal $n \ge 2$ definiëren we $f(n)$ als de som van de factoren in de
priemfactorontbinding van n. Bijvoorbeeld f (5) = 5 en f (12) = 7, want 12 = 2 · 2 · 3 en
2 + 2 + 3 = 7. Bepaal alle waarden die $f (n)$ kan aannemen.
- login om te reageren
Oplossing
Ten eerste merken we dat f(a·b) = f(a) + f(b), aangezien de priemfactoren van a·b de priemfactoren zijn van a en b samengevoegd.
En ten tweede weten we dat f(2) = 2 en f(3) = 3.
En aangezien elke natuurlijk getal m ≥ 2 geschreven kan worden als 2a + 3b (met a en b natuurlijke getallen, 0 inclusief), weten we dat f(2a · 3b) = m. Bijgevolg kan f(n) elk natuurlijk getal groter dan of gelijk aan 2 aannemen.
Assume $n=2^k$ where k is a natural number which is at least equal to $1$, then $f(n)=2k$.
Assume $n=2^{k-1} \cdot 3$ with $k \ge 1$ being an integer, then $f(n)=2(k-1)+3=2k+1$.
Therefore, $f(n)$ can represent all the positive integers larger or equal to two.
On the other hand, any number $n \ge 2$ has at least one prime divisor (which is at least $2$), so by definition $f(n) \ge 2$ for all integers $n$.
So we found all possible values that $f$ can attain.