Tekeningetjes à volonté, Olympia doet niet mee

(a)

We doen aan "dubbeltellen":
Het aantal eindpunten van een straat, i.e. het aantal paren (eindpunt, straat), met eindpunt een eindpunt van de straat, kunnen we op twee manieren tellen:
(1) Elke straat wordt begrensd door exact 2 eindpunten, zodat het totale eindpunten gelijk is aan $2S$.
(2) Anderzijds zijn alle eindpunten $T$-kruispunten, behalve voor de straten aan de rand van de wijk. Omgekeerd zijn ook alle $T$-kruispunten en randpunten van de wijk het eindpunt van $1$ resp. $2$ straten. We vinden dus dat het totale eindpunten gelijk is aan $T+2 \cdot 4=T+8.$

Bijgevolg is $ 2S = T + 8 $.

(b)
We doen opnieuw aan "dubbeltellen" en tellen het aantal koppels $(kruispunt, huizenblok)$ met het kruispunt een hoek van het huizenblok op twee manieren.

Ieder huizenblok heeft $4$ hoeken/ kruispunten, dus het gezochte aantal is $4H.$

Anderzijds geldt voor ieder kruispunt $K$ dat het aantal huizenblokken dat een kruispunt K als hoekpunt heeft, gelijk is aan:

• 4, als K een vierarmenkruispunt is


• 2, als K een T-kruispunt is


• 1, als K een hoek van de wijk is

Bijgevolg is $4H = 4V + 2T + 4 \Leftrightarrow T = 2H - 2V - 2.$
En wanneer we dit in (a) passen, krijgen we:
$2S = T+8 \Leftrightarrow 2S = 2H - 2V + 6 \Leftrightarrow S + V = H + 3.$