asa
Opgave - BrMO 1 2009 dag 1 vraag 2
Op een cirkel liggen vijf punten $A,B,C,D,E$ (in die volgorde).
Er geldt dat $AB // DE$.
Bewijs dat $\angle ABC = 90^{\circ}$ als en slechts als $|AC|^2=|BD|^2+|CE|^2$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
In dit bewijs zal ik naar $\left | AB \right |$ verwijzen met $AB$.
We bewijzen eerst volgend lemma:
Als twee evenwijdige rechten $a$ en $b$ een cirkel $c$ snijden in resp. $A$, $B$ en $C$, $D$ dan geldt: $AC$= $BD$.
Bewijs: $\widehat{DBA}=180°-\widehat{DCA}=\widehat{CAB}$, zodat $ACDB$ een gelijkbenig trapezium is en $AC$=$BD$
Uit dit lemma volgt dat $BD$=$AE$. We kunnen het te bewijzen dus herformuleren als: $\widehat{ABC}=90° \Leftrightarrow AC^2=AE^2+CE^2$.
Stel $\widehat{ABC}=90°$
Uit de stelling van Thales volgt nu dat $AC$ een middellijn is van de cirkel. Ook omwille van de stelling van Thales en ook die van Pythagoras geldt dus $AC^2=AE^2+CE^2$
Stel $AC^2=AE^2+CE^2$
Uit de stelling van Pythagoras en Thales volgt dat $AC$ een middellijn van de cirkel is. Uit de stelling van Thales volgt dan dat $\widehat{ABC}=90°$.
Q.E.D.