Zoek het parallellogram!

Sinds we weten dat $BC \parallel FE$, volstaat het bewijzen van $FB \parallel EC$.\\
Laat de intersectie van $AC$ bissectrices van $\angle ABC$ en $\angle ADC$ $R$ zijn.
Dan volgt uit de bissectrice-stelling dat $$\frac{|AR|}{|AD|} = \frac{|RC|}{|DC|} \iff \frac{|AR|}{|RC|} = \frac{|AD|}{|DC|}.$$
en $$\frac{|AR|}{|AB|} = \frac{|RC|}{|BC|} \iff \frac{|AR|}{|RC|} = \frac{|AB|}{|BC|}.$$
Dus $$\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|DC|}.$$
Uit dit volgt dat $DB$ de $B$-symmediaan is van driehoek $\triangle ABC$ en $BD$ is de $D$-symmediaan van $\triangle ADC$. (Lemma 4.27 in Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads)
Elke hoek die vanaf nu genoemd word is een georiënteerde hoek.
Dus $\triangle ABD \sim \triangle MBC \sim \triangle MCD$. ((b) van Lemma 4.26 in Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads)
Dus $\angle DEM =\angle DEB = -\angle EBC =\angle CBE =\angle CBM =\angle DCM$.
Dit geeft dat $DCME$ cyclisch is.

Dus $\angle CEM = \angle CDM = \angle BCM$.
Dan
$$\angle FEC = \angle DEC = \angle DEB - \angle CEB = \angle DEB - \angle CEM$$ $$=\angle DCM - \angle CDM= \angle DCM - \angle BCM = \angle DCM + \angle MCB =\angle DCB$$
Dus $\angle FEC = \angle DCB$
Dan omdat $DFBC$ cyclisch is geeft $\angle FEC = \angle DCB = \angle DFB$ ofwel $\angle FEC + \angle BFD = 0$, dit geeft $FB \parallel EC$