EMC 2014

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat er oneindig veel natuurlijke getallen zijn die niet kunnen geschreven worden als $a^{\tau(a)}+b^{\tau(b)}$, met $a$ en $b$ natuurlijke getallen.

($\tau(x)$ is het aantal positieve delers van $x$)

Vraag 2

Jack en Lisa spelen een spel op een $m\times n$ bord, met $m,n>2$. Lisa start met het plaatsen van een paard op het bord. Daarna plaatsen Jack en Lisa beurtelings een nieuw stuk op het bord, volgens de volgende regels:

1. Jack plaatst een koningin op een leeg vierkantje dat op een paardensprong* van Lisa's laatste paard ligt

2. Lisa plaatst een paard op een leeg vierkantje dat in dezelfde rij, kolom of diagonaal ligt van de laatste koningin van Jack.

Diegene die geen stuk meer kan plaatsen verliest. Voor welke paren $(m,n)$ heeft Lisa een winnende strategie?

(*paardensprong: 2 vakjes horizontaal en 1 vakje verticaal van een paard òf 1 vakje horizontaal en 2 vakjes verticaal)

Vraag 3 Opgelost!

Laat $ABCD$ een convexe koordenvierhoek zijn waarbij de bissectrices van $\angle ABC$ en $\angle ADC$ elkaar snijden op diagonaal $AC$. Laat $M$ het midden zijn van $AC$. De lijn die parallel is met $BC$, door $D$, snijdt $BM$ in $E$ en de omgeschreven cirkel van $ABCD$ een tweede keer in $F$.

Bewijs dat $BCEF$ een parallellogram is.

Vraag 4

Bepaal alle reële functies $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ zodat $\forall x,y \in\mathbb{R}$ er geldt dat
$$f(x^2)+f(2y^2)=(f(x+y)+f(y))(f(x-y)+f(y))$$