combi II

We zullen een bijectie construeren tussen de verzameling uitslagen $A$, i.e. niet-stijgende $6$-tallen van $6$ elementen uit $\{0,1,2,\ldots 10\}$, en de verzameling $B$ van strings van $16$ symbolen, waarvan er $10$ | zijn en $6$ *.

Neem een willekeurige combinatie van deze symbolen uit $B$ en beeldt deze af op een uitslag $(a_1,a_2, \ldots, a_6)$ waarbij $a_i$ het aantal | is na de $i^{de}$ *,hierdoor is per constructie het 6-tal niet-stijgend (bv. ||*|||***|*||*|| wordt afgebeeld op $(8,5,5,5,4,2)$).
Het is duidelijk dat verschillende elementen uit $B$ op verschillende elementen van $A$ worden afgestuurd, i.e. de afbeelding is injectief.

Omgekeerd beelden we een uitslag $(a_1,a_2, \ldots, a_6) \in A$ af op het element van $B$, bestaande uit $10-a_1$ keer |, gevolg door een *
en vervolgens $a_i-a_{i+1}$ keer een |, gevolgd door een *, voor $1 \le i \le 5$ met daarna nog $a_6$ |'en.
Ook deze afbeelding is duidelijk injectief.

De constructies zijn ook zo dat het na elkaar uitvoeren van deze twee afbeeldingen (waarbij het gelijk is welk van de twee eerst komt), is de identieke, i.e. beeldt het element uit $A$ of $B$ op zichzelf af.

We hebben dus wel degelijk een bijectie tussen $A$ en $B$.

Het antwoord is dus gelijk aan $|B|$, wat gelijk is aan ${}^{16}C_{10}=\frac{ 16!}{10! \cdot 6!}.$

In het algemeen geldt bij $n$ vragen en mogelijke scores $0,1,\ldots, k$ op iedere vraag dat er ${}^{n+k}C_{k}$ mogelijke uitslagen zijn die niet-stijgend zijn.