commutatief binnen matrixvermenigvuldiging
Opgave - IMC 2003 dag 2 vraag 1
$A,B \in \mathbb{R}^{n\times n}$ zodat $AB+B+A=0$. Bewijs dat $AB=BA$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 2 gasten online.
Oplossing
Stel $A+I=C$ en $B+I=D$ met $I$ de eenheidsmatrix.
Dan is $CD=(A+I)(B+I)=AB+A+B+I=I$.
Dit betekent dat $D$ de inverse is van $C$, dus $CD=DC$.
$I=CD=DC=(B+I)(A+I)=BA+B+A+I$
zodat $BA+B+A=0$. Omdat ook $AB+A+B=0$ volgt hieruit dat $AB=BA$
$\square$