Mierenmeetkunde?

Nummer de hoekpunten van de kubus van 1 t.e.m. 8 zodanig dat naast een even getal (via een ribbe), altijd een oneven getal ligt. En vice versa.

Merk nu op dat als Anton via een zijvlakdiagonaal, Anton altijd op hetzelfde getal mod(2) uitkomt. Dus van een even naar even getal, en van een oneven naar een oneven. Bij een ribbe of een lichaamsdiagonaal gaat Anton echter van even naar oneven, of omgekeerd.

Als Anton alle hoekpunten wil bezoeken, en terug op het beginpunt uitkomen moet hij tweemaal overschakelen van even naar oneven (of omgekeerd).
[ indien hij meerdere keren overschakeld, zal hij minimum $2$ keer een ribbe moeten gebruiken]
Hiervoor kan hij een ribbe of een lichaamsdiagonaal gebruiken. Hij kan echter maar één keer de lichaamsdiagonaal gebruiken, want al deze gaan door het middelpunt van de kubus en de Anton snijdt zijn eigen pad nooit.

Daarom zal Anton dus minstens 1 ribbe moeten gebruiken.

Laat Anton starten op een hoekpunt met een oneven getal. Als Anton start op een hoekpunt met een even getal, kan je even en oneven doodgewoon omwisselen.
Als Anton exact 1 ribbe wil gebruiken, dan kan hij exact eenmaal overschakelen van oneven naar even en dan terug komen naar oneven.

Anton moet dan echter alle even getallen in een keer (zonder overschakelen) met zijvlakdiagonalen verbinden. Deze drie zijvlakken moeten aan elkaar grenzen. Dit kan op 2 manieren: 3 zijvlakken met een gemeenschappelijk hoekpunt (1) of 2 parallelle zijvlakken met een loodrecht "verbindend" zijvlak(2).

(1) De vier even hoekpunten kunnen niet op deze manier verbonden worden: elk zijvlak heeft 2 even en 2 oneven hoekpunten.
Als het gemeenschappelijke hoekpunt van deze drie vlakken even is, dan staan de andere even getallen er schuin tegenover in elk zijvlak. Er gaan dus 3 zijvlakdiagonalen naar dit gemeenschappelijk hoekpunt, maar aangezien Anton elk punt slecht eenmalig bezoekt kan dit niet.
Als het gemeenschappelijke hoekpunt van deze drie vlakken oneven is, dan liggen de oneven punten op het uiteinde van de ribben vanuit dit gemeenschappelijke hoekpunt. Dit zijn echter maar drie hoekpunten, het vierde even hoekpunt ligt dus niet in deze drie zijvlakken. Tegenstrijdigheid.

NOOT:Laten we voor de sport veronderstellen dat (1) wel kan als dit gemeenschappelijk hoekpunt A oneven is. Dan krijgen we een oneven hoekpunt met een zijvlakdiagonaal door de de drie aangrenzende zijvlakken. Aangezien alle zijvlakdiagonalen van één vlak elkaar snijden en Anton zijn eigen weg nooit snijdt kan er vanuit dit punt A geen zijvlakdiagonaal meer getrokken worden. Om een weg naar A en terug weg van A te hebben heeft Anton dus een lichaamsdiagonaal en een ribbe nodig. Deze gaan echter allebei naar een even getal. En aangezien dat Anton niet tweemaal kan "oversteken", kan hij niet naar de andere oneven getallen gaan. Probleem!

(2)Laten we het "verbindend" zijvlak a noemen. Op a liggen twee oneven hoekpunten, en beiden hebben twee lijnen ernaartoe nodig. Voor elk van deze punten is er door twee van de drie aangrenzende zijvlakken al een zijvlakdiagonaal getrokken. En aangezien deze altijd door een centraal punt gaan, kan er zo slecht 1 per vlak zijn. Ze hebben dus maar 1 zijvlakdiagonaal als uitweg. Ze hebben echter ook elk één lichaamsdiagonaal en één ribbe(niet meer want de andere ribben gaan naar punten die al 2 paden hebben) als weg ter beschikking.Aangezien er één lichaamsdiagonaal en één ribbe gebruikt mag worden, zou dit geen probleem mogen zijn. Dit is het echter wel: de lichaamsdiagonaal van het ene punt gaat naar het punt dat het andere oneven punt in a nodig heeft om een ribbe te gebruiken als pad. Tegenstrijdigheid.

We concluderen dus dat Anton minstens 2 ribben nodig heeft.