VWO 2013

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Een getal van zes cijfers is evenwichtig wanneer alle cijfers verschillend zijn van nul en de som van de eerste drie cijfers gelijk is aan de som van de laatste drie cijfers. Bewijs dat de som van alle evenwichtige getallen van zes cijfers deelbaar is door $13$.

Vraag 2 Opgelost!

Aan een grote ronde tafel zitten $2013$ smurfen. Ieder van hen heeft twee kaartjes. Op elk kaartje staat een getal uit $\{1,2,...,2013\}$ zodanig dat elk van de getallen uit deze verzameling precies twee keer voorkomt. Om de minuut neemt iedere smurf het kaartje met het kleinste van de twee getallen, smurft dat door aan zijn linkerbuur en ontvangt een kaartje van zijn rechterbuur. Toon aan dat er een moment komt waarop een smurf twee kaartjes met hetzelfde getal heeft.

Vraag 3 Opgelost!

Anton de mier maakt een wandeling langs de hoekpunten van een kubus. Hij begint in een hoekpunt en stopt als hij dit punt opnieuw bereikt. Tussen twee hoekpunten verplaatst hij zich over een ribbe, een zijvlakdiagonaal of een ruimtediagonaal. Onderweg bezoekt hij elk van de andere hoekpunten precies één keer en nergens snijdt hij zijn reeds afgelegde weg.

$(a)$ Toon aan dat Anton langs minstens één ribbe wandelt.
$(b)$ Toon aan dat Anton langs minstens twee ribben wandelt.

Vraag 4 Opgelost!

Beschouw (in het vlak) drie concentrische cirkels met stralen $1$, $2$ en $3$ en de gelijkzijdige driehoek $\Delta$ zodanig dat op elk van de drie cirkels één hoekpunt van $\Delta$ ligt. Bereken de lengte van de zijden van $\Delta$.