Evenwichtsoefening

Opgave - VWO 2013 dag 1 vraag 1

Een getal van zes cijfers is evenwichtig wanneer alle cijfers verschillend zijn van nul en de som van de eerste drie cijfers gelijk is aan de som van de laatste drie cijfers. Bewijs dat de som van alle evenwichtige getallen van zes cijfers deelbaar is door $13$.

Oplossing

(een getal dat wordt genoteerd als meerdere letters na elkaar duid hier altijd op de 10-delige schrijfwijze van het getal)

Laten we de tegenhanger van een evenwichtig getal van zes cijfers getal abcdef, defabc noemen. Een tegenhanger van een evenwichtig getal van zes cijfers getal is ook een evenwichtig getal van zes cijfers.
De tegenhanger van de tegenhanger van abcdef is abcdef zelf.

Hieruit volgt dat we alle evenwichtige getallen van zes cijfers kunnen verdeeld worden in disjuncte koppels (op de getallen met abc=def na, deze bekijken we apart).
Zo'n koppel is van de vorm [abcdef, defabc]. De som van de 2 getallen in zo'n koppel is abcdef + defabc = 1000 * abc +1000 *def + abc +def = abcabc +defdef.
abcabc en defdef zijn deelbaar door 13 want 1001 is deelbaar door 13.
Hieruit volgt dat de som van de 2 getallen in zo'n koppel altijd deelbaar is door 13. Bovendien zal in het geval van abc=def ook abcabc deelbaar zijn door 13.
Hieruit volgt dat de som van alle evenwichtige getallen van zes cijfers deelbaar is door 13 (ook door 7 en 11 om zelfde reden, omdat 1001=7*11*13).