Vierkante functie =0
Opgave - Putnam 2009 dag 1 vraag 1
In het vlak wordt aan ieder punt een reele functiewaarde toegekend.
Er geldt dat de som vd functiewaarden vd hoekpunten van ieder vierkant gelijk is aan nul.
Is de functie dan de nulfunctie?
- login om te reageren
Oplossing
Ja: neem een willekeurig punt $O$, en beschouw een vierkant $ABCD$ dat dit punt als centrum heeft.
De middens van $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ en $[DA]$ noemen we $E,F,G,H$.
Noteren we kortweg een punt in plaats van de functiewaarde die het heeft, dan is $$\begin{align}4O=&\;(A+E+O+H)+(B+F+O+E)+(C+G+O+F)+(D+H+O+G)\\&\;-2(E+F+G+H)-(A+B+C+D)\\=&\;0+0+0+0-2\cdot0-0.\end{align}$$
Of $O=0$.