vermomde ongelijkheid tot gelijkheid
Opgave - BxMO 2012 dag 1 vraag 2
Bepaal alle viertallen $(a, b, c,d)$ van (strikt) positieve reele getallen die voldoen
aan de drie voorwaarden $abcd = 1, a^{2012}+2012b = 2012c+d^{2012}$ en $2012a+b^{2012} = c^{2012}+2012d.$
- login om te reageren
Oplossing
De laatste twee gelijkheden zijn equivalent aan
$a^{2012}-d^{2012}=2012(c-b)$
$c^{2012}-b^{2012}=2012(a-d)$
Deze vermenigvuldigt levert
$(a^{2012}-d^{2012})(c^{2012}-b^{2012})=2012^2(c-b)(a-d)$
Dit uitwerken geeft
$(a^{2011}+a^{2010}d+\dots+ad^{2010}+d^{2011})(c^{2011}+c^{2010}b+\dots+cb^{2010}+b^{2011})=2012^2$
Tweemaal AM-GM op het LL toepassen geeft
$LL\ge 2012^2 (abcd)^{\frac{2011}{2}}=2012^2$ met gelijkheid als en slechts als alle termen gelijk zijn, i.e. $a=d$ en $b=c$. Om aan de eerste vgl. te voldoen moet $(a,b,c,d)$ dus van de vorm $(n,\frac{1}{n},\frac{1}{n},n)$ zijn.