BxMO 2012

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Een rij (strikt) positieve gehele getallen $a_1,a_2,\cdots $ voldoet aan
$a_{n+1 } = a_n + b_n$ voor $n=1,2,3\cdots$
waar $b_n$ het laatste (meest rechtse) cijfer is in de decimale schrijfwijze van $a_n$. Bewijs dat zo'n
rij oneindig veel machten van $2$ bevat dan en slechts dan als $a_1$ niet deelbaar is door $5.$

Vraag 2 Opgelost!

Bepaal alle viertallen $(a, b, c,d)$ van (strikt) positieve reele getallen die voldoen
aan de drie voorwaarden $abcd = 1, a^{2012}+2012b = 2012c+d^{2012}$ en $2012a+b^{2012} = c^{2012}+2012d.$

Vraag 3 Opgelost!

$M$ is het middelpunt van $[BC]$ in driehoek $\triangle ABC$ en $P$ een variabel inwendig punt zodat $\angle CPM = \angle PAB.$
De rechte $MP$ snijdt de omgeschreven cirkel $\tau$ van $\triangle ABP$ in $P$ en $Q.$
We spiegelen $P$ tov de raaklijn in $B$ aan $\tau$ om $R$ te bekomen.
Bewijs dat $|QR|$ constant is voor iedere mogelijke $P$ in de driehoek.

Vraag 4 Opgelost!

Gisteren zaten er $ n \ge 4$ ridders aan een ronde tafel. Ieder van de ridders heeft
alleen onthouden wie zijn twee buren waren, maar niet welke van de twee links van hem zat en
welke van de twee rechts. Vandaag willen we deze groep ridders weer zo om de tafel plaatsen dat
iedereen dezelfde buren heeft als gisteren (waarbij het mogelijk is dat iemand z'n rechterbuur
van gisteren vandaag zijn linkerbuur is). Je mag enkele ridders ondervragen over zijn buren:
zo'n ridder zal dan zijn twee buren van gisteren aanwijzen.

$(a)$ Bepaal het minimale aantal ridders $f(n)$ dat je hiervoor naar zijn buren moet vragen, als
je je keuze voor een nieuwe ridder om te ondervragen, niet mag laten afhangen van de
antwoorden die eerder ondervraagde ridders gegeven hebben. Je moet dus van tevoren
een lijst maken met ridders die je wilt ondervragen, voordat je aan het daadwerkelijke
ondervragen begint.

$(b)$ Bepaal het minimale aantal ridders $g(n)$ dat je hiervoor naar zijn buren moet vragen,
als je je keuze voor een nieuwe ridder om te ondervragen, wel mag laten afhangen van
de antwoorden die eerder ondervraagde ridders gegeven hebben. Je mag dus eerst $1$
ridder ondervragen en daarna besluiten wie je als tweede ridder ondervraagt, enzovoorts.