a^2+b^2

Putnam 2000 dag 1 vraag 2

Lemma $(1)$:
We bewijzen: wanneer $m$ en $n$ de som van twee volkomen kwadraten zijn, dan is $m\cdot n$ ook de som van twee kwadraten.

Zij $m=a^2+b^2$ en $n=c^2+d^2$, dan is
\begin{align*}
mn&=(a^2+b^2)(c^2+d^2) \\
&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2 \\
&=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2 + 2abcd - 2abcd \\
&= (ac+bd)^2+(ad-bc)^2
\end{align*}
Dit bewijst het lemma.

Stel dat er een oplossing bestaat: $(n-1,n,n+1)$. Duidelijk is dat $n^2+0^2$ en $n^2+1^2$ twee opeenvolgende getallen zijn die ook de som van twee volkomen kwadraten zijn. Wanneer we $a=n$ en $b=c=d=1$ invullen in lemma $(1)$, krijgen we dat $(n+1)(n-1)=n^2-1$ en dit is dus ook de som van twee volkomen kwadraten. We hebben dus opnieuw een oplossing gevonden $(n^2-1,n^2,n^2+1)$. We zien dat $8=2^2+2^2$, $9=3^2+0^2$ en $10=3^2+1^2$. Aangezien we nu oneindig veel andere oplossingen kunnen construeren zoals hierboven aangetoond is, is het gevraagde aangetoond.