Putnam 2000

Dag 1

Vraag 1

$x_0,x_1,\cdots$ zijn strikt positieve reele getallen zodat $ \sum_{j=0}^{\infty}x_{j}= A .$
Wat zijn alle waarden die $ \sum_{j=0}^{\infty}x_{j}^{2}$ kan aannemen?

Vraag 2 Opgelost!

Bewijs dat er oneindig veel drietallen van $3$ opeenvolgende getallen bestaan die elk als de som van $2$ volkomen kwadraten te schrijven is.

Vraag 3

De achthoek $P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8$ is ingeschreven in een cirkel zodat ieder hoekpunt op de omtrek v.d. cirkel ligt in die volgorde.
Het vierkant $P_1P_3P_5P_7$ geeft opp. $5$ en de rechthoek $P_2P_4P_6P_8$ geeft een oppervlakte $=4.$
Wat is de maximale oppervlakte die $P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8$ kan hebben?

Vraag 4

Bewijs dat de limiet van volgende integraal bestaat:
$ \lim_{B\rightarrow\infty}\int_{0}^{B}\sin (x)\sin (x^2) dx $

Vraag 6

$f(x) \in \mathbb{Z}[X]$ , $a_0, a_1, \cdots $ zijn gehele getallen zodat $a_0=0$ en $a_{n+1}=f(a_n)$ $\forall n \ge 0$. Bewijs dat als er een $m$ bestaat zodat $a_m=0$ dat dan geldt dat $a_2=0$.

Dag 2

Vraag 1

$a_j$, $b_j$, $c_j$ zijn gehele getallen voor alle $1 \le j \le N$. Voor iedere $j$ geldt dat minimum $1$ v.d. waarden$a_j$, $b_j$, $c_j$ oneven is.
Bewijs dat er gehele $r, s, t$ bestaan zodat $ra_j+sb_j+tc_j$ oneven is voor min. $\frac{4N}{7}$ waarden van $j$, $1 \le j \le N$.

Vraag 2 Opgelost!

Bewijs dat $\frac{\text{ggd}(m, n)}{n}{n\choose m}$ geheel is $\forall m,n \in \mathbb{N}$ als $n \ge m>0.$

Vraag 4

$f$ is een continu functie die over de reele getallen voldoet aan $ f(2x^{2}-1)=2xf(x) $, bewijs dat de functie de nulfunctie is over het interval $[-1,1]$.

Vraag 5

$S_0$ is een eindige deelverzameling van $\mathbb N$ .
We definieren de verzamelingen $S_1, S_2, \cdots$ op volgende manier:
het getal $a$ zit in $S_{n+1}$ aesa er slechts $1$ getal van $a-1$ of $a$ in $S_n$ is.
Bewijs dat er oneindig veel natuurlijke $N$ zijn zodat $S_N = S_0 \cup \{ N + a| a \in S_0 \}.$

Vraag 6

Zij $B$ een verzameling met meer dan $\frac{2^{n+1}}{n}$ verschilende punten met coordinaten vd vorm $(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)$ in $n$-dimensionale ruimte met $n \ge 3$.
Bewijs dat er $3$ verschillende punten in $B$ zijn die een gelijkzijdige driehoek vormen.