intervalsom 1988

Hier is een schets van de grafiek van $P(x)=\sum _{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}$ en de intervallen van de $x$ die voldoen. (In werkelijkheid zijn er $70$ zo'n asymptoten.
Waar de afgeleide gedefinieerd is, is die $P'(x)=\sum _{k=1}^{70}\frac{-k}{(x-k)^2}$, dus strikt negatief. Dat de linkerlimiet telkens $-\infty$ is en de rechter $+\infty$ is eigenlijk ook basic. Dit verklaart het dalend verloop van de functie en de ligging van de intervallen.

Als $x_1,\dots,x_n$ de oplossingen van $P(x)=\frac54$ zijn, is de som van de lengtes van de intervallen dus $\sum_{i=1}^n(x_i-i)=\sum_{i=1}^nx_i-\sum_{i=1}^ni$.

We bepalen nu $\sum_{i=1}^nx_i$.

Stel $Q(x)=(P(x)-\frac54)\cdot\prod_{i=1}^{70}(x-i)$, maar dan in de uitgewerkte vorm, zonder breuken. Er geldt nog steeds $P(x)-\frac54=0\Rightarrow Q(x)=0$ zodat deze dezelfde nulpunten hebben. Aangezien $Q(x)$ van graad $70$ is en $P(x)-\frac54$ $70$ nulpunten heeft (dat zien we grafisch) zijn alle nulpunten enkelvoudig en zoeken we $\sum_{i=1}^nx_i$ met Vieta:

De coëfficiënt van $x^{70}$ in $Q(x)$ is $-\frac54$.

De coëfficiënt van $x^{69}$ is $\frac54\sum_{i=1}^{70}i+\sum_{i=1}^{70}i=\frac94\sum_{i=1}^{70}i$ (Duidelijk als we de haakjes zouden uitwerken).

De som van de wortels is dus $\frac95\cdot\sum_{i=1}^{70}i$ met Vieta.

De som van de lengtes van de intervallen is dan $\frac45\cdot\sum_{i=1}^{70}i$, en $\sum_{i=1}^{70}i=35\cdot71$ zodat we hebben $4\cdot7\cdot71=1988$ als som, zoals gewenst.