IMC bevat telkns 1 triv vraag
Opgave - IMC 2003 dag 1 vraag 1
$a_1,a_2,\cdots$ is een rij van reeele getallen zodat $a_1=1$ en $a_{n+1}>1.5a_n$ $\forall n \in \mathbb{N}.$
a) Bewijs dat de rij $\frac{a_n}{1.5^n}$ oneindig is of een eindige limiet heeft.
b) Bewijs dat voor iedere $\alpha>1$ er een rij $a_1,\cdots$ bestaat zodat $lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{1.5^n}= \alpha$
- login om te reageren
Oplossing
a) Omdat alle $a_k > 0$ en $a_{k+1} > 1.5a_k$ is deze rij zeker strikt stijgend. Dan zijn er twee gevallen: ofwel is de rij naar boven begrensd ofwel niet. In het eerste geval heeft de rij een eindige limiet, in het andere geval is de limiet $+\infty$.
b)Neem $a_n = 1.5^n \frac{n}{n+1} \alpha$ voor $n \geq 2$ en $a_1 = 1$. Dan geldt dat $a_2 = \frac{3}{2} \alpha > 1 .5= 1.5 a_1$. En voor $n > 1$ geldt $a_{n+1} = 1.5^{n+1} \frac{n+1}{n+2} \alpha > 1.5 ^{n+1} \frac{n}{n+1} \alpha = 1.5 a_n$. Deze rij voldoet aan de gestelde voorwaarden. En om te besluiten is $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{1.5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \alpha = \alpha$