veel medailles in '67
Opgave - IMO 1967 dag 2 vraag 3
Op een competitie van $n$ dagen wordt de eerste dag $1$ medaille en $\frac{1}{7}^{de}$ van de rest verdeeld.
De volgende dag $2$ medailles en $\frac{1}{7}^{de}$ van de rest .
$\cdots$
[ op dag $k$ telkens $k$ medailles en $\frac{1}{7}^{de}$ van de rest verdeeld, voor $k$ van $1$ tot $n-1$]
Op de laatste dag worden de overige $n$ medailles verdeeld.
Hoeveel medailles waren er?
- login om te reageren
Oplossing
We werken van achter naar voor:
$0\rightarrow n\rightarrow \frac{7n}{6}\rightarrow ...$
Zodat $n=6y$
$0\rightarrow 6y\rightarrow 7y\rightarrow 13y-1\rightarrow \frac{91y-7}{6}\rightarrow ...$
Zodat $y=6a+1$
$0\rightarrow 36a+6\rightarrow 42a+7 \rightarrow 78a+12\rightarrow 91a+14\rightarrow 127a+18\rightarrow \frac{7(127a+18)}{6}\rightarrow ...$
Zodat $6|a$ en we $y=36a+1$ kunnen stellen.
Per inductie zullen we nu aantonen dat $n=6^r*a+6$, waarbij $r$ steeds groter wordt.
Na $p$ stappen terug te keren, hebben we $K*6^{r-p}a+6p$ medailles waarbij $K \equiv 1 \pmod 6$ is.
In de $p+1$de stap:
$\rightarrow K*7*6^{r-(p+1)}a+7p \rightarrowK*7*6^{r-(p+1)}a+7p + 6^r*a+6-p =K'*6^{r-(p+1)}a+6(p+1)$ zoals gewenst.
Dit invullen voor $p=r+1$ heeft dat $6|a$.
($r+1<6^r$ als $r>0$ )
Dus kon het niet dat $r>0$ omdat dan na $r+1$ stappen we een contradictie krijgen.
De enige mogelijkheid is dat $r=0$. Dit geeft ons de oplossing:
$0\rightarrow 6\rightarrow 7\rightarrow 12\rightarrow 14\rightarrow 18\rightarrow 21\rightarrow 24\rightarrow 28\rightarrow 30\rightarrow 35\rightarrow 36$ zodat er in het begin $36$ medailles waren.
END
*********************
Alternatief:
Met reekssommen kan men bekomen dat het aantal medailles bij de start gelijk aan $(\frac 76 )^n*(6n-36) + 36$ is.
Wanneer $n>6$ zal $6^n>6n-36>0$ en dus het aantal niet geheel zijn.
Omdat $n$ een zesvoud moest zijn, wegens de voorwaarde op de laatste dag, kan het dus enkel dat $n=6$ en zijn er $36$ medailles.
END