tekening met symbool van MF

Tags:

Opgave - JWO 2003 dag 1 vraag 2

Door een willekeurig, inwendig punt $O$ van een willekeurige $\Delta ABC$ tekent men $3$ lijnen evenwijdig met de zijden van de driehoek.

Hierbij liggen $F,E,D$ op de $3$ verschillende lijnen die werden getekend resp. op $[AB],[BC],[CA]$

Vind de waarde van $\frac{|AF|}{|AB|}+\frac{|BE|}{|BC|}+\frac{|CD|}{|CA|}$.

Ingediend door Anoniem

Bepaal $\frac{|AF|}{|AB|}+\frac{|BE|}{|BC|}+\frac{|CN|}{|CA|}$

$\Delta ABC \sim \Delta OEK \sim \Delta DON$ (overeenkomstige hoeken bij evenwijdige rechten en een snijlijn zijn even groot)
Door de stelling van Thales geldt dat:

$|AF|=|DO|$
$|NO|=|CK|$
$|CN|=|KO|$
Uit 1 en 2 volgt:

$\frac{|AF|}{|AB|}=\frac{|DO|}{|AB|}=\frac{|NO|}{|BC|}=\frac{|CK|}{|BC|}$

$\frac{|CN|}{|CA|}=\frac{|KO|}{|CA|}=\frac{|EK|}{|BC|}$

Dus is $\frac{|AF|}{|AB|}+\frac{|BE|}{|BC|}+\frac{|CN|}{|CA|}=\frac{|CK|}{|BC|}+\frac{|BE|}{|BC|}+\frac{|EK|}{|BC|}=\frac{|BC|}{|BC|}=1$