meetkundeprobleem

Eerst bepaal je de oppervlakte die 2 aaneenliggende kwartcirkels overlappen.
Het snijpunt van de twee kwartcirkels vormt samen met de 2 middelpunten een gelijkzijdige driehoek met zijde $1$. Met pythagoras vindt je oppervlakte van de driehoek $\frac{\sqrt3}{4}$.
Nu staan er 2 halve cirkelsegmenten die samen 1 volledig segment vormen.
De oppervlakte van die twee samen is $\frac{\pi*1^2}{3}-\frac{\sqrt3}{4}=\frac{4\pi-3\sqrt3}{12}$.
Nu terug naar de figuur. Noem de oppervlakte van een concave "driehoek" $A$, die van een spitsvormige figuur $B$ en die van het middenste bolle "vierkant" $C$. Gevraagd is $4B+C$.
Wat we zonet hebben berekend is $A+C+2B$. De oppervlakte van het vierkant is $4A+4B+C=1$. De oppervlakte van een kwartcirkel is $2A+3B+C=\frac{\pi}{4}$. Vermenigvuldig je die met 2 en trek er $A+C+2B$ van af, dan heb je:
$4A+6B+2C-(A+C+2B)=\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi-3\sqrt3}{12}$
$3A+4B+C=\frac{2\pi+3\sqrt3}{12}$
Trek je dat af van de oppervlakte van het grote vierkant:
$A=\frac{12-2\pi-3\sqrt3}{12}$
Trek je dat 4 keer af van de oppervlakte van het vierkant:
$4A+4B+C-4A=1-4\frac{12-2\pi-3\sqrt3}{12}$
$4B+C=\frac{2\pi+3\sqrt3-9}{3}=\frac{2\pi}{3}+\sqrt3-3$
En dat is precies wat gevraagd was.