getaltheorie 2
Opgave - VWO 2008 dag 1 vraag 2
$a,b,c \in \mathbb{Z}$ voldoen aan $a+b+c=0$
Bewijs dat $\frac{a^4+b^4+c^4}{2}$ een volkomen kwadraat is.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
$a+b+c=0 \Rightarrow a=-b-c$
$\frac{a^4+b^4+c^4}{2}=\frac{(-b-c)^4+b^4+c^4}{2}$
$=\frac{b^4+4bc^3+6b^2c^2+4bc^3+c^4+b^4+c^4}{2}$
$=\frac{2b^4+2c^4+4bc(b^2+c^2)+6b^2c^2}{2}$
$=b^4+c^4+2bc(b^2+c^2)+3b^2c^2$
$=(b^4+2b^2c^2+c^4)+2bc(b^2+c^2)+b^2c^2$
$=(b^2+c^2)^2+2bc(b^2+c^2)+b^2c^2$
$=(b^2+c^2 + bc)^2$ = een volkomen kwadraat
Stel
$\Sigma x = a+b+c$
$\Sigma x^2 = a^2+b^2+c^2$
$\Sigma x^4 = a^4+b^4+c^4$
$\Sigma xy = ab+bc+ca$
$\Sigma x^2y^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
$\Sigma x^2yz = a^2bc+b^2ca+c^2ab$
Dan is algemeen
$(\Sigma x)^2 = \Sigma x^2 + 2 \Sigma xy$
en
$(\Sigma x^2)^2 = \Sigma x^4 + 2 \Sigma x^2y^2$
en
$(\Sigma xy)^2 = \Sigma x^2y^2 + 2 \Sigma x^2yz$
en
$\Sigma x^2yz = abc \Sigma x$
Hier is gegeven $\Sigma x = 0$
$\Rightarrow \Sigma x^2yz = 0$
$\Rightarrow (\Sigma xy)^2 = \Sigma x^2y^2 + 2 \Sigma x^2yz = \Sigma x^2y^2 $ (*).
Verder
$\Rightarrow \Sigma x^2 = - 2 \Sigma xy$
$\Rightarrow (\Sigma x^2)^2 =4 (\Sigma xy)^2 $
$\Rightarrow \Sigma x^4 + 2 \Sigma x^2y^2 =4 \Sigma x^2y^2 + 8 \Sigma x^2yz $
$\Rightarrow \frac{\Sigma x^4 }{2} = \Sigma x^2y^2 = (\Sigma xy)^2 $ wegens (*)