getal bepalen

getal= $1000a+100b+10c+d $ met$ a,b,c,d \in [0,9]$ en $a$ niet 0
getal*4 - omgekeerde_volgorde = $3999a+390b-60c-996d=30$
Delen door 3:
$1333a + 130 b - 20 c - 332d = 10$

Aangezien het rechterlid even is, moet het linkerlid dit ook zijn $\rightarrow 2|a.$

Als $a\ge 4$ is, zien we dat $1333a + 130 b - 20 c - 332d \ge 1333*4 + 130*0 - 20*9-332*9>4000-9*(20+380)=400> 10$ waardoor de andere gevallen niet mogelijk zijn.

We besluiten dat $a=2.$

Het linkerlid moet ook een veelvoud van 10 zijn, dus $0 \equiv 1333a-332d\equiv 6-2d \pmod{10}$
Dan kan alleen als $d \equiv 3 \pmod{5}$

Neem nu a=2 en d=3:
$2666 + 130 b - 20 c - 996=10$
$130b - 20c \ge 130*0-20*9> -1660$ , dus geeft het duidelijk geen oplossingen geeft voor $b , c \in [0,9]$

a=2 en d=8:
$2666 + 130 b -20c -2656 = 10 \Leftrightarrow 13b-2c=0 \Rigtharrow 13|c.$, wat enkel kan met de natuurlijke getallen in $[0,9]$ als b en c gelijk zijn aan $0$.

Hiermee besluiten we dat $2008$ het enige antwoord is.

Leuke vraag, jaargang 2008 :)