handjes schudden bij de VWO
Opgave - VWO 2009 dag 1 vraag 1
Op $29/09/2009$ komen precies $2009$ Belgen samen om het record handjes schudden te verbreken.
Iedereen schudt een ander precies één keer de hand.
$2$ Van de aanwezigen zijn Thomas en Nathalie:
Nathalie zei op het einde dat ze 5 keer zoveel Vlamingen als Brusselaars de hand had gegeven.
THomas antwoordde met "Ik heb precies $3$ keer zoveel Walen als Brusselaars een hand geschud.". Uit welk gewest komen Nathalie en uit welk gewest komt Thomas ?
- login om te reageren
Oplossing
aantal Brusselaars= $b$
aantal Walen= $w$
aantal Vlamingen=$v$
Uit de eerste uitspraak volgt:
$v=5b$ (als Nathalie Waal is)
ofwel $v=5b+1$ (als ze Vlaming is)
ofwel $v=5(b-1)$ (als ze Brusselaar is)
Uit de tweede volgt:
$w=3b$ (als Thomas Vlaming is)
ofwel $w=3b+1$ (als hij Waal is)
ofwel $w=3(b-1)$ (als hij Brusselaar is)
Nu is $b+w+v=2009\equiv 2\mod9$ dus met substitutie van $w$ en $v$ vindt je dat alleen kan dat $b+(3b+1)+(5b+1)=9b+2=2009$ en dat dus Nathalie Vlaming is en Thomas Waal.
Deze methode vond ik iets eleganter:
We kunnen stellen dat, met $B_N$ het aantal Brusselaars die Natalie een hand gegeven hebben:
$2008 = 6B_N + W_N$
Bijgevolg geldt: $W_N \equiv 1 \pmod 3$
Echter geldt ook: $W_T = 3B_T$ $\Rightarrow$ $W_T \equiv 0 \pmod 3$
Hieruit kunnen we afleiden dat Thomas een Waal is en Natalie niet.
Dan geldt dus: $W-1 = 3B$
We herschrijven dus:
$2008 = 6B_N + 3B + 1$
$2007 = 6B_N + 3B$
$6B_N + 3 B \equiv 0 \pmod 9$
Wat niet geldt als Natalie van Brussel komt, want dan geldt $6B_N + 3 B = 9B - 6 \equiv 3 \pmod 9$. Het klopt echter wel als Natalie uit Vlaanderen komt.
Natalie is dus Vlaams, terwijl Thomas een Waal is.