makkelijker dan VWO?
Opgave - IMO 1962 dag 1 vraag 1
Bepaal het kleinste positieve gehele getal n met de volgende eigenschappen:
(1) het laatste cijfer van n in decimale notatie is 6;
(2) schrap je deze 6 en plaats je die als eerste cijfer voor de overige cijfers
van n, dan ontstaat het viervoud van n.
- login om te reageren
Oplossing
Zij $n=10a+6$ met $a$ een getal van $m$ cijfers. Dan bekomen we de volgende vergelijking:
$4(10a+6)=6.10^m+a$
$\Rightleftarrow 39a=6(10^m-4)$
Aangezien $13|39$ en $13\not|6$ , moet
$10^m\equiv 4 \mod{13}$
Door inspectie zien we dat de kleinste $m$ die hieraan voldoet $m=5$, dus $10^5\equiv 4 \mod {13}$
Via dit resultaat zien we dat $a=\frac{6(10^5-4)}{39}=15384$. Dus $n=153846$ en dit is ook meteen het kleinste. $\blacksquare$