som van 100 getalletjes
Opgave - JWO 2007 dag 1 vraag 1
De getallen $1,2,...$ worden in een driehoek geplaatst als volgt: $$\begin{matrix}1&&&\\ 2&3&& \\ 4&5&6& \\ 7&8&9&10 \\ \vdots&&&\end{matrix}$$
Wat is de som van de getallen op de $100^e$-de rij?
- login om te reageren
Oplossing
Het laatste getal uit de $n^{de}$ rij $= {\sum_{i=o}^{n-1}}n-i=n*\frac{n+1}{2}=\frac{n^2+n}{2}$
Het eerste getal uit de $n^{de}$ rij$={\sum_{i=1}^{n-1}}n-i=\frac{n^2+n}{2}-(n-1)=\frac{n^2-n+2}{2}$
dit passen we toe op de $100^{e}$ rij en bekomen dan:
$4951,4952,\ldots,5049,5050$
de som van deze getallen $=50*(5050+4951)=500050$
Het laatste getal op de 99ste rij is gelijk aan het aantal getallen op de eerste 99 rijen. Dit is dus gelijk aan:
$\sum_{i=1}^{99}i=\frac{99*100}{2}=4950$De som van de getallen op de 100ste rij is dus de som van alle getallen van 4951 tot 5050. Deze is gelijk aan:
$\sum_{i=1}^{100}4950+i=495000+\frac{100*101}{2}=500050$Aantal getallen: $1 + 2 + \cdots + 100= 100*(100 +1)/2=5050$
Laatste rij: $100$ getallen: $[4951, 5050]$
Som getallen laatste rij: $4951+4952 + \cdots + 5050 = 100*(4951 + 5050)/2=100 \cdot 50 00,5=500 050$
De som van de getallen op de $100^{ste}$ rij is $500050.$
Als $x_n$ het $1^{ste}$ getal is in rij $n$ (met n is een natuurlijk getal en $n>1$), dan is
$x_n=x_{n-1}+(n-1)$
$x_{100}=x_{99}+99$
$x_{100}=x_{98}+98+99$
$x_{100}=x_1+(1+2+...+98+99)$
We weten ook dat $x_1=1$ dus:
$x_{100}=1+(49*100+50)=4951$
$s_n$ is de som van alle getallen op rij n, dan:
$s_n=x_n+(x_n+1)+(x_n+2)+...+(x_n+(n-2))+(x_n+(n-1))$
($x_n+n=x_{n+1}$ dit hoort dus niet meer op rij n)
$s_n=n*x_n+(1+2+...+(n-2)+(n-1))$
$s_{100}=100*4951+(1+2+...+98+99)$
$s_{100}=495100+49*100+50=500050$