kwadraat vinden

$n=1$ en $n=2$ werkt al niet dus laten we nu aannemen dat $n\geq 3$.
Stel $a^2=n\cdot 2^{n+1}+1$.
Dit is equivalent met
$(a+1)(a-1)=n\cdot 2^n\cdot 2$.
Hieruit kunnen we afleiden dat zowel $a+1$ als $a-1$ een factor $2$ bevatten, maar dat $a-1$ slechts één keer factor $2$ bevat, omdat het verschil van $a+1$ en $a-1$ anders groter wordt dan $2$ en ook is de factor waar $2^n$ in zit altijd de grootste.
($2n<2^{n}$ voor $n \ge 3$ en dus kon $a-1$ niet $2^{n}$ als deler hebben )

Stel nu $n=p\cdot q$ met $p,q$ natuurlijke getallen niet gelijk aan nul.
Dan kunnen we zeggen dat $a+1=2^n\cdot q$ en $a-1=2\cdot p$.
Hun verschil moet gelijk zijn aan $2$, dus
$2^n\cdot q-2\cdot p=2$ zodat
$2^{n-1}\cdot q-p=1$ en dus $p+1=2^{pq-1}\cdot q$.
We weten al dat $p$ oneven moet zijn (omdat $a-1$ maar één factor $2$ mag bevatten). Voor $p=3$ krijgen we $q=1$ zodat $a^2=49$.

Voor waarden van $p\geq 5$ zal het $RL$ strikt groter worden dan het $LL$ (exponentieel vs. lineair), dus krijgen we geen oplossing voor $p\geq 5$ en is dus $n=3$ de enige oplossing voor het gevraagde.
$\square$